関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、今回は(1)の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は $f(x) = (x^2 + 1)^{-1}$ と書き換えることができます。この形にしてから、合成関数の微分法を利用して導関数を求めます。

合成関数の微分法とは、関数 $f(g(x))$ の導関数が $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で求められるというものです。

まず、$g(x) = x^2 + 1$ とすると、$f(g) = g^{-1}$ となります。

$g(x)$ の導関数は、

$g'(x) = 2x$

となります。

次に、$f(g) = g^{-1}$ の導関数は、

$f'(g) = -g^{-2} = -\frac{1}{g^2}$

となります。

したがって、$f(x)$ の導関数は、

$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

となります。

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$