問題は3つあります。 問題3-1: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうかを判定する。 問題3-2: 極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n})^n$ を計算する。 問題3-3: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するかどうかを判定する。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題3-1: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうかを判定する。

問題3-2: 極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n})^n$ を計算する。

問題3-3: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

問題3-1:

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ の収束判定を行います。

$\frac{1}{n^2 + n + 1} < \frac{1}{n^2}$ が成り立ちます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は、$p$-級数であり、$p = 2 > 1$ なので収束します。

したがって、比較判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ も収束します。

問題3-2:

極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n})^n$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2 - n + 3n + 1}{n^2 - n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3n + 1}{n^2 - n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3n + 1}{n^2 - n})^n$

$= \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3n}{n^2})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{3}{n})^n = e^3$

問題3-3:

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ の収束判定を行います。

比判定法を用いると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1} + 2^{n+1}}}{\frac{n^3}{3^n + 2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^3 \cdot \frac{3^n (1 + (\frac{2}{3})^n)}{3^{n+1} (1 + (\frac{2}{3})^{n+1})} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1 + (\frac{2}{3})^n}{1 + (\frac{2}{3})^{n+1}} = 1^3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{1 + 0} = \frac{1}{3} < 1$

したがって、比判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束します。

3. 最終的な答え

問題3-1: 収束する

問題3-2: $e^3$

問題3-3: 収束する