与えられた9つの関数 $f(x)$ それぞれについて、導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた9つの関数 $f(x)$ それぞれについて、導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題に対して、以下の手順で解いていきます。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

これは合成関数の微分です。$u = x^2 + 1$ とおくと、$f(u) = \frac{1}{u}$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{df}{du} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$f'(x) = -\frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$

これは商の微分です。$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x, v = x^2 + 1$ とおくと、

$u' = 1, v' = 2x$

よって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f(x) = \frac{x+2}{x^2 + 1}$

これも商の微分です。

$u = x+2, v = x^2 + 1$ とおくと、

$u' = 1, v' = 2x$

よって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 4x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + x + 1}$

これも商の微分です。

$u = 2x+1, v = x^2 + x + 1$ とおくと、

$u' = 2, v' = 2x + 1$

よって、

$f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2 + x + 1) - (2x+1) \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 2 - (4x^2 + 4x + 1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f(x) = x^2(5x^3 + 3) = 5x^5 + 3x^2$

$f'(x) = 25x^4 + 6x$

(6) $f(x) = x^2(5x^3 + 3)$

これは(5)と同じ関数です。

$f'(x) = 25x^4 + 6x$

(7) $f(x) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 1)$

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 + 3x + 2, v = x^2 - 1$ とおくと、

$u' = 2x + 3, v' = 2x$

よって、

$f'(x) = (2x+3)(x^2-1) + (x^2+3x+2)(2x) = 2x^3 - 2x + 3x^2 - 3 + 2x^3 + 6x^2 + 4x = 4x^3 + 9x^2 + 2x - 3$

(8) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2+x}$

これも商の微分です。

$u = \sqrt{x}, v = 2 + x$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, v' = 1$

よって、

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (2+x) - \sqrt{x} \cdot 1}{(2+x)^2} = \frac{\frac{2+x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(2+x)^2} = \frac{2+x - 2x}{2\sqrt{x}(2+x)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

これも商の微分です。

$u = \sqrt{x} - 1, v = \sqrt{x} + 1$ とおくと、

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\sqrt{x}+1 - (\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{2}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

(2) $f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 1}{(x^2+1)^2}$

(4) $f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x + 1}{(x^2+x+1)^2}$

(5) $f'(x) = 25x^4 + 6x$

(6) $f'(x) = 25x^4 + 6x$

(7) $f'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 2x - 3$

(8) $f'(x) = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(2+x)^2}$

(9) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$