はい、承知しました。問題文のOCRと問題文の画像に基づいて、以下の問題について解答します。

はい、承知しました。問題文のOCRと問題文の画像に基づいて、以下の問題について解答します。

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1. 問題の内容**

次の曲線の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求めよ。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

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2. 解き方の手順**

1. 与えられた関数を$y=f(x)$とおく。$f(x)=x^4 + 2x^3 + 1$。

2. $f(x)$の第1次導関数$f'(x)$を計算する。

$f'(x) = 4x^3 + 6x^2$

3. $f(x)$の第2次導関数$f''(x)$を計算する。

$f''(x) = 12x^2 + 12x$

4. $f''(x) = 0$となる$x$を求める。

$12x^2 + 12x = 0$

$12x(x + 1) = 0$

$x = 0, -1$

5. 増減表を作成し、$f''(x)$の符号の変化を調べる。

| x | | -1 | | 0 | |

| :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |

| f''(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 凸 | | 凹 | | 凸 |

6. $x = -1$のとき、$f(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$。よって、変曲点は$(-1, 0)$。

7. $x = 0$のとき、$f(0) = 0^4 + 2(0)^3 + 1 = 1$。よって、変曲点は$(0, 1)$。

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3. 最終的な答え**

凹凸：

* $x<-1$, $0<x$で下に凸

* $-1<x<0$で上に凸

変曲点：

$(-1, 0), (0, 1)$