与えられた定積分の和を計算する問題です。 定積分はすべて同じ関数 $f(x) = -6x^2 + 12x + 7$ であり、積分区間がそれぞれ異なります。 すなわち、以下の計算を行います。 $\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算する問題です。

定積分はすべて同じ関数 $f(x) = -6x^2 + 12x + 7$ であり、積分区間がそれぞれ異なります。

すなわち、以下の計算を行います。

$\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 12x + 7) dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = -2x^3 + 6x^2 + 7x + C$

次に、各定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx = [-2x^3 + 6x^2 + 7x]_{-1}^{1} = (-2(1)^3 + 6(1)^2 + 7(1)) - (-2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1)) = (-2 + 6 + 7) - (2 + 6 - 7) = 11 - 1 = 10$

$\int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx = [-2x^3 + 6x^2 + 7x]_{1}^{2} = (-2(2)^3 + 6(2)^2 + 7(2)) - (-2(1)^3 + 6(1)^2 + 7(1)) = (-16 + 24 + 14) - (-2 + 6 + 7) = 22 - 11 = 11$

$\int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx = [-2x^3 + 6x^2 + 7x]_{2}^{3} = (-2(3)^3 + 6(3)^2 + 7(3)) - (-2(2)^3 + 6(2)^2 + 7(2)) = (-54 + 54 + 21) - (-16 + 24 + 14) = 21 - 22 = -1$

最後に、これらの定積分を足し合わせます。

$10 + 11 + (-1) = 20$

3. 最終的な答え

20