三角形ABCにおいて、以下の2つの問題に答えます。 (1) $BC=2$, $AB=2\sqrt{2}$, $C=135^\circ$のとき、$A$を求めます。 (2) $AC=12$, $A=120^\circ$, $C=15^\circ$のとき、$BC$と外接円の半径$R$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つの問題に答えます。

(1) $BC=2$, $AB=2\sqrt{2}$, $C=135^\circ$のとき、$A$を求めます。

(2) $AC=12$, $A=120^\circ$, $C=15^\circ$のとき、$BC$と外接円の半径$R$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて、$AC$の長さを求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos{135^\circ}$

$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2)\cos{135^\circ}$

$AC^2 = 8 + 4 - 8\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 12 + 8 = 20$

$AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

正弦定理を用いて、$A$の角度を求めます。

$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{C}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sin{135^\circ}}$

$\frac{2}{\sin{A}} = \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\sin{A} = \frac{2(\frac{\sqrt{2}}{2})}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$A = \arcsin{\frac{\sqrt{10}}{10}} \approx 18.43^\circ$

しかし、三角形の内角の和は180度なので、

$B = 180 - 135 - A$

$B = 45 - A$

$AB/ \sin C = BC / \sin A$

$2\sqrt{2}/(\sqrt{2}/2) = 2 / \sin A$

$4 = 2/ \sin A$

$\sin A = 1/2$

$A = 30^{\circ}$

(2) $B = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\frac{12}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 120^\circ}$

$\frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$BC = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}$

外接円の半径$R$について、$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$2R = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$

$R = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $A = 30^\circ$

(2) $BC = 6\sqrt{6}$, $R = 6\sqrt{2}$