正七角形について、以下の問いに答える問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 対角線の本数を求めます。 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正七角形について、以下の問いに答える問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 対角線の本数を求めます。

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正七角形の7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算できます。

$n=7$, $r=3$ なので、

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

よって、三角形の個数は35個です。

(2) 正七角形の頂点は7個あります。対角線は、ある頂点から自分自身と隣の2つの頂点以外の頂点に引ける線です。つまり、各頂点から4本の対角線が引けます。頂点が7個あるので、 $7 \times 4 = 28$ 本と考えられますが、それぞれの対角線は2回数えられているので、2で割る必要があります。

よって、対角線の本数は $\frac{7 \times 4}{2} = 14$ 本です。

別の考え方として、7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを計算し、そこから辺の数7を引くことでも求められます。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

よって、対角線の本数は $21 - 7 = 14$ 本です。

(3) 正七角形の2辺を共有する三角形は、それぞれの辺に対して1つずつ存在します。したがって、そのような三角形の数は正七角形の辺の数と同じになります。

よって、正七角形と2辺を共有する三角形の個数は7個です。

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 14本

(3) 7個