四面体ABCDにおいて、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$のとき、以下の値を求めよ。 (1) 四面体ABCDの体積V (2) $\triangle ABC$の面積S (3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さd

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$のとき、以下の値を求めよ。

(1) 四面体ABCDの体積V

(2) $\triangle ABC$の面積S

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さd

2. 解き方の手順

(1) 四面体ABCDの体積Vを求める。

$\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$ より、AD, BD, CDは互いに垂直である。したがって、四面体ABCDの体積は

$V = \frac{1}{6} \times AD \times BD \times CD$

$V = \frac{1}{6} \times 2 \times 4 \times 6$

$V = \frac{48}{6} = 8$

(2) $\triangle ABC$の面積Sを求める。

$\triangle ADB$, $\triangle ADC$, $\triangle BDC$はそれぞれ直角三角形である。

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{13}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)}$

$S = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{13})(\sqrt{10}+\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10})(\sqrt{5}+\sqrt{10}-\sqrt{13})}$

計算を簡単にするため、以下のように計算する。

$S^2 = \frac{1}{4} (2(AB^2 AC^2 + AC^2 BC^2 + BC^2 AB^2) - (AB^4 + AC^4 + BC^4))$

$S^2 = \frac{1}{4} (2(20 \times 40 + 40 \times 52 + 52 \times 20) - (20^2 + 40^2 + 52^2))$

$S^2 = \frac{1}{4} (2(800 + 2080 + 1040) - (400 + 1600 + 2704))$

$S^2 = \frac{1}{4} (2(3920) - (4704)) = \frac{1}{4} (7840 - 4704) = \frac{3136}{4} = 784$

$S = \sqrt{784} = 28$

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さdを求める。

四面体ABCDの体積Vは、底面を$\triangle ABC$としたときの高さdを用いて

$V = \frac{1}{3} \times S \times d$

$8 = \frac{1}{3} \times 28 \times d$

$24 = 28d$

$d = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $V = 8$

(2) $S = 28$

(3) $d = \frac{6}{7}$