## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

(1) 円Oにおいて、弦によって区切られた線分が与えられたとき、$x$を求めよ。

(2) 円Oにおいて、円外の一点Pから接線と割線が引かれたとき、$x$を求めよ。

##

2. 解き方の手順

**(1) 方べきの定理**

円の内部で交わる２つの弦に関して方べきの定理を利用する。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

この問題では、与えられた図において、$2 \cdot x = 4 \cdot 3$が成り立つ。

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

**(2) 方べきの定理**

円外の点から引かれた接線と割線に関して方べきの定理を利用する。

$PT^2 = PA \cdot PB$

この問題では、$6^2 = x \cdot (x+8)$ が成り立つ。

$36 = x(x+8)$

$x^2 + 8x - 36 = 0$

二次方程式を解く：

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 144}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{208}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 13}}{2}$

$x = \frac{-8 \pm 4\sqrt{13}}{2}$

$x = -4 \pm 2\sqrt{13}$

$x$は長さなので正の値である。

$x = -4 + 2\sqrt{13}$

##

3. 最終的な答え

(1) $x = 6$

(2) $x = -4 + 2\sqrt{13}$