座標空間内の3点 A(2, 4, 0), B(1, 1, 1), C(a, b, c) が一直線上にある。点Cがzx平面上にあるとき、a, cの値を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内の3点 A(2, 4, 0), B(1, 1, 1), C(a, b, c) が一直線上にある。点Cがzx平面上にあるとき、a, cの値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点A, B, C が一直線上にあるので、ベクトル$\vec{AC}$と$\vec{AB}$は平行である。したがって、ある実数 $k$ を用いて、

$$\vec{AC} = k \vec{AB}$$

と表せる。

$\vec{AC} = (a - 2, b - 4, c - 0) = (a - 2, b - 4, c)$

$\vec{AB} = (1 - 2, 1 - 4, 1 - 0) = (-1, -3, 1)$

よって、

$(a - 2, b - 4, c) = k(-1, -3, 1)$

したがって、

$a - 2 = -k$

$b - 4 = -3k$

$c = k$

点Cがzx平面上にあるので、y座標が0となる。つまり、$b = 0$

$0 - 4 = -3k$

$-4 = -3k$

$k = \frac{4}{3}$

$a - 2 = -k = -\frac{4}{3}$

$a = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

$c = k = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$, $c = \frac{4}{3}$