四面体ABCDにおいて、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$である。 (1) 四面体ABCDの体積$V$を求めよ。 (2) $\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。 (3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$を求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AD=2$, $BD=4$, $CD=6$, $\angle ADB = \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ$である。

(1) 四面体ABCDの体積$V$を求めよ。

(2) $\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四面体ABCDの体積$V$を求める。

AD, BD, CDが互いに直交しているので、四面体ABCDはDを頂点とする三角錐と見なせる。底面を$\triangle ADB$とすると、高さはCDとなる。

$\triangle ADB$の面積は、$\frac{1}{2} \times AD \times BD = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

よって、四面体ABCDの体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle ADB \times CD = \frac{1}{3} \times 4 \times 6 = 8$

(2) $\triangle ABC$の面積$S$を求める。

まず、$\triangle ABC$の各辺の長さを計算する。

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

ヘロンの公式を使う。$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{13}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)}$より

面積の公式を使う。

$AB^2=20, AC^2=40, BC^2=52$

$cos(\angle BAC)=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2*AB*AC}=\frac{20+40-52}{2*2\sqrt{5}*2\sqrt{10}}=\frac{8}{8\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

$sin(\angle BAC)=\sqrt{1-cos^2(\angle BAC)}=\sqrt{1-\frac{1}{50}}=\sqrt{\frac{49}{50}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}$

$S=\frac{1}{2}AB*AC*sin(\angle BAC)=\frac{1}{2}*2\sqrt{5}*2\sqrt{10}*\frac{7}{5\sqrt{2}}=14$

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さ$d$を求める。

四面体ABCDの体積は、$V = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times d$で表される。

(1)より、$V = 8$

(2)より、$S = 14$

$8 = \frac{1}{3} \times 14 \times d$

$d = \frac{3 \times 8}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $V=8$

(2) $S=14$

(3) $d = \frac{12}{7}$