三角形ABCにおいて、与えられた条件から残りの辺の長さや角度を求める問題です。 (1) $AB=10, BC=8, B=120^\circ$ のとき、$CA$を求める。 (2) $BC=\sqrt{3}, CA=\sqrt{7}, B=30^\circ$ のとき、$AB$を求める。 (3) $AB=\sqrt{3}+1, BC=2, CA=\sqrt{6}$ のとき、$A, B, C$を求める。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から残りの辺の長さや角度を求める問題です。

(1) $AB=10, BC=8, B=120^\circ$ のとき、$CA$を求める。

(2) $BC=\sqrt{3}, CA=\sqrt{7}, B=30^\circ$ のとき、$AB$を求める。

(3) $AB=\sqrt{3}+1, BC=2, CA=\sqrt{6}$ のとき、$A, B, C$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて、$CA$の長さを求めます。

余弦定理: $CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$CA^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$CA^2 = 100 + 64 - 160 \cdot (-\frac{1}{2}) = 164 + 80 = 244$

$CA = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61}$

(2) 余弦定理を用いて、$AC^2$を求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$(\sqrt{7})^2 = AB^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$7 = AB^2 + 3 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$7 = AB^2 + 3 - 3 \cdot AB$

$AB^2 - 3AB - 4 = 0$

$(AB - 4)(AB + 1) = 0$

$AB = 4, -1$

$AB > 0$より、$AB = 4$

(3) 余弦定理を用いて、$A, B, C$を求めます。

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{6})^2 - 2^2}{2(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}} = \frac{(3+2\sqrt{3}+1) + 6 - 4}{2(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + 2^2 - (\sqrt{6})^2}{2 (\sqrt{3}+1) \cdot 2} = \frac{(3+2\sqrt{3}+1) + 4 - 6}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $CA = 2\sqrt{61}$

(2) $AB = 4$

(3) $A = 45^\circ, B = 60^\circ, C = 75^\circ$