2つの直線 $l: y = x+2$ と $m: y = -\frac{1}{2}x+5$ がある。直線 $l$ とx軸との交点をA、直線 $m$ とx軸との交点をB、直線 $l$ と $m$ の交点をCとする。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 点Cを通り直線 $l$ に垂直な直線とx軸との交点をDとするとき、三角形BCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $l: y = x+2$ と $m: y = -\frac{1}{2}x+5$ がある。直線 $l$ とx軸との交点をA、直線 $m$ とx軸との交点をB、直線 $l$ と $m$ の交点をCとする。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 点Cを通り直線 $l$ に垂直な直線とx軸との交点をDとするとき、三角形BCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

まず、各点の座標を求める。

点Aは直線 $l: y = x+2$ とx軸 ($y=0$) との交点なので、$0 = x+2$ より $x = -2$。したがって、Aの座標は $(-2, 0)$。

点Bは直線 $m: y = -\frac{1}{2}x+5$ とx軸 ($y=0$) との交点なので、$0 = -\frac{1}{2}x+5$ より $\frac{1}{2}x = 5$, $x = 10$。したがって、Bの座標は $(10, 0)$。

点Cは直線 $l: y = x+2$ と直線 $m: y = -\frac{1}{2}x+5$ との交点なので、$x+2 = -\frac{1}{2}x+5$ を解く。

$\frac{3}{2}x = 3$ より $x = 2$。$y = x+2 = 2+2 = 4$。したがって、Cの座標は $(2, 4)$。

三角形ABCの底辺をABとすると、ABの長さは $10 - (-2) = 12$。高さは点Cのy座標なので4。

したがって、三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24$。

(2) 点Dの座標を求める。

直線 $l: y = x+2$ に垂直な直線の傾きは $-1$ である。

点C $(2, 4)$ を通り、傾きが $-1$ の直線の方程式は $y - 4 = -1(x - 2)$ より $y = -x + 6$。

点Dはこの直線とx軸との交点なので、$0 = -x + 6$ より $x = 6$。したがって、Dの座標は $(6, 0)$。

三角形BCDの底辺をBDとすると、BDの長さは $|10-6| = 4$。高さは点Cのy座標なので4。

したがって、三角形BCDの面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。

3. 最終的な答え

(1) 24

(2) 8