点A(2, 6)を通り、傾きが$1/2$の直線$l$がある。点Bは直線$l$と$x$軸との交点である。原点を通る直線$m$が点Cで直線$l$と直交している。以下の問いに答えよ。 (1) 点Bの座標を求めよ。 (2) 点Cの座標を求めよ。 (3) $\triangle AOB$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体の体積を求めよ。 (4) $\triangle AOC$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

点A(2, 6)を通り、傾きが$1/2$の直線$l$がある。点Bは直線$l$と$x$軸との交点である。原点を通る直線$m$が点Cで直線$l$と直交している。以下の問いに答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) 点Cの座標を求めよ。

(3) $\triangle AOB$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体の体積を求めよ。

(4) $\triangle AOC$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線$l$の式を求める。傾きが$1/2$で点A(2, 6)を通るので、$y = \frac{1}{2}x + b$とおき、Aの座標を代入して$6 = \frac{1}{2}(2) + b$より、$b = 5$。よって直線$l$の式は$y = \frac{1}{2}x + 5$。

点Bは直線$l$と$x$軸との交点なので、$y = 0$を代入して、$0 = \frac{1}{2}x + 5$より、$x = -10$。よって、点Bの座標は(-10, 0)である。

(2) 直線$m$は直線$l$と直交するので、直線$m$の傾きは-2である。よって、直線$m$の式は$y = -2x$。

点Cは直線$l$と直線$m$の交点なので、

$\frac{1}{2}x + 5 = -2x$

$\frac{5}{2}x = -5$

$x = -2$

$y = -2x = -2(-2) = 4$

よって、点Cの座標は(-2, 4)である。

(3) $\triangle AOB$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体は、底面の半径が6の円錐とみなせる。

円錐の高さはOBの長さであり、OB = 10である。よって、体積は

$\frac{1}{3}\pi (6^2)(10) = \frac{1}{3}\pi(36)(10) = 120\pi$

(4) $\triangle AOC$を$x$軸を中心に一回転させてできる立体は、底面の半径が4の円錐とみなせる。

円錐の高さはOCの$x$座標の絶対値であり、2である。よって、体積は

$\frac{1}{3}\pi (4^2)(2) = \frac{1}{3}\pi(16)(2) = \frac{32}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: (-10, 0)

(2) 点Cの座標: (-2, 4)

(3) $\triangle AOB$の回転体の体積: $120\pi$

(4) $\triangle AOC$の回転体の体積: $\frac{32}{3}\pi$