直線 $l: y=x+2$ と直線 $m: y=-\frac{1}{2}x+5$ があり、$l$と$x$軸の交点をA、$m$と$x$軸の交点をB、$l$と$m$の交点をCとする。 (1) 三角形ABCの面積を求める。 (2) Cを通り直線$l$に垂直な直線と$x$軸との交点をDとするとき、三角形BCDの面積を求める。 (3) (2)のとき、Dを通り直線$l$に平行な直線と直線$m$との交点をEとするとき、三角形CDEの面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y=x+2$ と直線 $m: y=-\frac{1}{2}x+5$ があり、$l$と$x$軸の交点をA、$m$と$x$軸の交点をB、$l$と$m$の交点をCとする。

(1) 三角形ABCの面積を求める。

(2) Cを通り直線$l$に垂直な直線と$x$軸との交点をDとするとき、三角形BCDの面積を求める。

(3) (2)のとき、Dを通り直線$l$に平行な直線と直線$m$との交点をEとするとき、三角形CDEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点A、B、Cの座標を求める。

Aは直線$l$と$x$軸の交点なので、$y=0$を$y=x+2$に代入して、$0=x+2$より、$x=-2$。よって、Aの座標は$(-2, 0)$。

Bは直線$m$と$x$軸の交点なので、$y=0$を$y=-\frac{1}{2}x+5$に代入して、$0=-\frac{1}{2}x+5$より、$\frac{1}{2}x=5$、$x=10$。よって、Bの座標は$(10, 0)$。

Cは直線$l$と直線$m$の交点なので、$y=x+2$と$y=-\frac{1}{2}x+5$を連立させて解く。

$x+2=-\frac{1}{2}x+5$

$2x+4=-x+10$

$3x=6$

$x=2$

$y=2+2=4$

よって、Cの座標は$(2, 4)$。

三角形ABCの底辺をABとすると、ABの長さは$10 - (-2) = 12$。高さはCの$y$座標なので、$4$。

したがって、三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24$。

(2)

Cを通り直線$l$に垂直な直線の傾きは、直線$l$の傾き$1$の逆数の符号を変えたものなので、$-1$。

したがって、求める直線の方程式は、$y - 4 = -1(x - 2)$より、$y = -x + 6$。

この直線と$x$軸との交点Dの$x$座標は、$0 = -x + 6$より、$x = 6$。よって、Dの座標は$(6, 0)$。

三角形BCDの底辺をBDとすると、BDの長さは$10 - 6 = 4$。高さはCの$y$座標なので、$4$。

したがって、三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。

(3)

Dを通り直線$l$に平行な直線の方程式は、$y - 0 = 1(x - 6)$より、$y = x - 6$。

この直線と直線$m$との交点Eを求める。

$x - 6 = -\frac{1}{2}x + 5$

$2x - 12 = -x + 10$

$3x = 22$

$x = \frac{22}{3}$

$y = \frac{22}{3} - 6 = \frac{22 - 18}{3} = \frac{4}{3}$

よって、Eの座標は$(\frac{22}{3}, \frac{4}{3})$。

Cの座標は$(2, 4)$、Dの座標は$(6, 0)$、Eの座標は$(\frac{22}{3}, \frac{4}{3})$。

三角形CDEの面積を求める。点Cを原点に移すように平行移動する。

$C'(0, 0)$, $D'(6-2, 0-4)=(4, -4)$, $E'(\frac{22}{3}-2, \frac{4}{3}-4)=(\frac{16}{3}, -\frac{8}{3})$

面積は$\frac{1}{2}|4(-\frac{8}{3})-(-4)\frac{16}{3}| = \frac{1}{2}|-\frac{32}{3} + \frac{64}{3}| = \frac{1}{2}\frac{32}{3} = \frac{16}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) 24

(2) 8

(3) $\frac{16}{3}$