点 Q が曲線 $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$ 上を動くとき、点 Q と点 A(1, -1) を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を $x^2 + y^2 = ?$ の形で求める問題です。

1. 問題の内容

点 Q が曲線 $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$ 上を動くとき、点 Q と点 A(1, -1) を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を $x^2 + y^2 = ?$ の形で求める問題です。

2. 解き方の手順

点 Q の座標を $(s, t)$、点 P の座標を $(x, y)$ とします。

点 Q は曲線 $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 2 = 0$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 + 2s - 2t - 2 = 0$ が成り立ちます。

点 P は線分 AQ の中点であるから、

$x = \frac{s+1}{2}$、 $y = \frac{t-1}{2}$

が成り立ちます。

これらの式から、$s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$s = 2x - 1$、 $t = 2y + 1$

となります。

これらを $s^2 + t^2 + 2s - 2t - 2 = 0$ に代入すると、

$(2x-1)^2 + (2y+1)^2 + 2(2x-1) - 2(2y+1) - 2 = 0$

$4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 + 4y + 1 + 4x - 2 - 4y - 2 - 2 = 0$

$4x^2 + 4y^2 - 4 = 0$

$x^2 + y^2 - 1 = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 1$