三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とし、$a^2 = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{6}$, $b^2 = 1$, $c^2 = 4$とする。 (1) $\cos \angle BAC$の値を求めよ。 (2) 三角形ABCの面積Sを求めよ。 (3) $\angle BAC$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とし、$a^2 = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{6}$, $b^2 = 1$, $c^2 = 4$とする。

(1) $\cos \angle BAC$の値を求めよ。

(2) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

(3) $\angle BAC$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos \angle BAC$の値を求める。$\angle BAC = A$とすると、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$b = \sqrt{b^2} = \sqrt{1} = 1$

$c = \sqrt{c^2} = \sqrt{4} = 2$

なので、

$\cos A = \frac{1 + 4 - (5 - \sqrt{2} - \sqrt{6})}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})^2 = 1 - \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{16} = 1 - \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = 1 - \frac{2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin A = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

半角の公式より

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

三角形の面積Sは、$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos A = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$であり、$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \cos 15^{\circ}$なので、$\angle BAC = 15^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) 三角形ABCの面積S = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\angle BAC = 15^{\circ}$