関数 $f(x) = \sin^2(3x)$ の微分 $f'(x)$ を求め、その結果を用いて $f'(\frac{\pi}{4})$ を計算する問題です。問題文には、$f'(x) = \boxed{39} \sin(3x) \cos(3x)$ および $f'(\frac{\pi}{4}) = \boxed{40} \boxed{41}$という形で、空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^2(3x)$ の微分 $f'(x)$ を求め、その結果を用いて $f'(\frac{\pi}{4})$ を計算する問題です。問題文には、$f'(x) = \boxed{39} \sin(3x) \cos(3x)$ および $f'(\frac{\pi}{4}) = \boxed{40} \boxed{41}$という形で、空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin^2(3x)$ を微分します。合成関数の微分公式を用いると、

$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$

したがって、空欄39には6が入ります。

次に、$f'(\frac{\pi}{4})$ を計算します。

$f'(\frac{\pi}{4}) = 6\sin(3\cdot \frac{\pi}{4})\cos(3\cdot \frac{\pi}{4}) = 6\sin(\frac{3\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4})$

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(\frac{\pi}{4}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 6 \cdot (-\frac{2}{4}) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3$

したがって、空欄40には-が、空欄41には3が入ります。

3. 最終的な答え

39: 6

40: -

41: 3