$\triangle ABC$ において、$AB = 10$, $BC = 10\sqrt{3}$, $C = 30^\circ$ のとき、$CA$ の値を求め、それぞれの $CA$ の値に対する $A$ と $B$ の角度を求める。ただし、$CA$ の小さいほうをア、大きいほうをイとします。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 10$, $BC = 10\sqrt{3}$, $C = 30^\circ$ のとき、$CA$ の値を求め、それぞれの $CA$ の値に対する $A$ と $B$ の角度を求める。ただし、$CA$ の小さいほうをア、大きいほうをイとします。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。$AB = c$, $BC = a$, $CA = b$ とすると、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$10^2 = (10\sqrt{3})^2 + b^2 - 2(10\sqrt{3})b \cos 30^\circ$

$100 = 300 + b^2 - 20\sqrt{3}b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$100 = 300 + b^2 - 30b$

$b^2 - 30b + 200 = 0$

$(b - 10)(b - 20) = 0$

よって、$b = 10$ または $b = 20$

したがって、$CA = 10$ または $CA = 20$

(i) $CA = 10$ のとき

$\triangle ABC$ は $CA = AB = 10$ であるから二等辺三角形。

$A = B$ であり、$A + B + C = 180^\circ$ より $2A + 30^\circ = 180^\circ$

$2A = 150^\circ$

$A = 75^\circ$

$B = 75^\circ$

(ii) $CA = 20$ のとき

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ より、

$\frac{10\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{10}{\sin 30^\circ}$

$\sin A = \frac{10\sqrt{3} \sin 30^\circ}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = 60^\circ$ または $A = 120^\circ$

(a) $A = 60^\circ$ のとき、$B = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$

(b) $A = 120^\circ$ のとき、$B = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

$CA = 20$、$\frac{10\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{20}{\sin B} = \frac{10}{\sin 30^\circ}$ の場合、

$\sin B = \frac{20 \sin 30^\circ}{10} = \frac{20 \cdot \frac{1}{2}}{10\sqrt{3}}$

$CA = 20$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$10^2 = (10\sqrt{3})^2 + 20^2 - 2(10\sqrt{3})(20)\cos C$

$100 = 300 + 400 - 400\sqrt{3}\cos C$

$400\sqrt{3}\cos C = 600$

$\cos C = \frac{600}{400\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって $C = 30^\circ$

正弦定理を用いて

$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin A}$ より、$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = 60^\circ$ または $120^\circ$

$A = 60^\circ$ のとき、$B = 90^\circ$

$A = 120^\circ$ のとき、$B = 30^\circ$

$CA = 10$ のとき、$A = 75^\circ$、 $B = 75^\circ$

$CA = 20$ のとき、$A = 60^\circ$ または $120^\circ$。$C=30^\circ$のため、角度Aが60度のとき$B=90^\circ$、$A=120^\circ$のとき $B=30^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$CA = 10$ または $20$

$CA = 10$ のとき、$A = 75^\circ$, $B = 75^\circ$

$CA = 20$ のとき、$A = 60^\circ$, $B = 90^\circ$ または $A = 120^\circ$, $B = 30^\circ$

ア：10

イ：20

ウ：75

エ：75

オ：60 または 120

カ：90 または 30 (A=60のときB=90,A=120のときB=30)