$\theta$ は鋭角であるとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であるとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のときの $\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を利用して、$\cos \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用して、$\tan \theta$ の値を求める。

まず、$\cos \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に $\sin \theta = \frac{1}{2}$ を代入する。

$(\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4}$

$\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ である。

したがって、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ に $\sin \theta = \frac{1}{2}$ と $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入する。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\tan \theta = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$