2点A, Bが与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$を成分表示し、その大きさ$|\overrightarrow{AB}|$を求める問題です。問題は(1) A(2, 1, 4), B(3, -1, 5) と (2) A(3, 0, -2), B(1, -4, 2) の2つあります。

1. 問題の内容

2点A, Bが与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$を成分表示し、その大きさ$|\overrightarrow{AB}|$を求める問題です。問題は(1) A(2, 1, 4), B(3, -1, 5) と (2) A(3, 0, -2), B(1, -4, 2) の2つあります。

2. 解き方の手順

ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示は、点Bの座標から点Aの座標を引くことで求められます。すなわち、$\overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)$ です。

ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で求められます。すなわち、$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2 + (B_z - A_z)^2}$ です。

(1)

A(2, 1, 4), B(3, -1, 5)の場合：

$\overrightarrow{AB} = (3-2, -1-1, 5-4) = (1, -2, 1)$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

(2)

A(3, 0, -2), B(1, -4, 2)の場合：

$\overrightarrow{AB} = (1-3, -4-0, 2-(-2)) = (-2, -4, 4)$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{AB} = (1, -2, 1)$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6}$

(2)

$\overrightarrow{AB} = (-2, -4, 4)$

$|\overrightarrow{AB}| = 6$