三角形ABCにおいて、$AB=6$, $AC=7$, $BC=5$とする。辺AB上に点D、辺AC上に点Eをとり、三角形ADEの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{3}$となるようにする。辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD, 辺AEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $AC=7$, $BC=5$とする。辺AB上に点D、辺AC上に点Eをとり、三角形ADEの面積が三角形ABCの面積の$\frac{1}{3}$となるようにする。辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD, 辺AEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\triangle ADE$の面積が$\triangle ABC$の面積の$\frac{1}{3}$であることから、面積比の関係を考える。

$\triangle ADE = \frac{1}{3} \triangle ABC$

$\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin A = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A)$

$AD \cdot AE = \frac{1}{3} AB \cdot AC$

$AD \cdot AE = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 7 = 14$

ここで、$AD = x$, $AE = y$とおくと、

$xy = 14$

$y = \frac{14}{x}$

$0 < x \le 6$, $0 < y \le 7$

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$なので、

$5^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos A$

$25 = 36 + 49 - 84 \cos A$

$84 \cos A = 60$

$\cos A = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

余弦定理より、$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2AD \cdot AE \cos A$なので、

$DE^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos A$

$DE^2 = x^2 + (\frac{14}{x})^2 - 2 \cdot 14 \cdot \frac{5}{7}$

$DE^2 = x^2 + \frac{196}{x^2} - 20$

$DE^2 = (x^2 + \frac{196}{x^2})$の最小値を考える。相加相乗平均の関係より、

$x^2 + \frac{196}{x^2} \ge 2 \sqrt{x^2 \cdot \frac{196}{x^2}} = 2 \sqrt{196} = 2 \cdot 14 = 28$

したがって、$DE^2 \ge 28 - 20 = 8$

$DE \ge \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

最小値をとるとき、$x^2 = \frac{196}{x^2}$より、$x^4 = 196$

$x^2 = 14$

$x = \sqrt{14}$

このとき、$y = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$

$x = \sqrt{14} \approx 3.74 < 6$, $y = \sqrt{14} \approx 3.74 < 7$なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

DEの最小値：$2\sqrt{2}$

ADの長さ：$\sqrt{14}$

AEの長さ：$\sqrt{14}$