次の1次不定方程式の整数解を求める問題です。 $2x + 5y = 3$ ここで、$x$と$y$は整数です。

1. 問題の内容

次の1次不定方程式の整数解を求める問題です。

$2x + 5y = 3$

ここで、$x$と$y$は整数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を満たす整数解を1つ見つけます。

$x = -1$、$y = 1$は、$2x + 5y = 3$を満たす解の1つです。

なぜなら、$2(-1) + 5(1) = -2 + 5 = 3$となるからです。

したがって、$2(-1) + 5(1) = 3$が成り立ちます。

元の式$2x + 5y = 3$から$2(-1) + 5(1) = 3$を引くと、

$2x + 5y - (2(-1) + 5(1)) = 3 - 3$

$2(x + 1) + 5(y - 1) = 0$

$2(x + 1) = -5(y - 1)$

2と5は互いに素なので、$x + 1$は5の倍数である必要があります。

したがって、$x + 1 = 5k$（$k$は整数）とおけます。

$x = 5k - 1$

これを$2(x + 1) = -5(y - 1)$に代入すると、

$2(5k) = -5(y - 1)$

$10k = -5(y - 1)$

$2k = -(y - 1)$

$y - 1 = -2k$

$y = -2k + 1$

したがって、整数解は$x = 5k - 1$、$y = -2k + 1$（$k$は整数）と表されます。

3. 最終的な答え

$x = 5k - 1$

$y = -2k + 1$ (kは整数)