右の図において、$\angle CBD = 60^\circ$, $\angle DAB = 30^\circ$, $\angle DBA = 15^\circ$, $AB = 50m$ であるとき、塔の高さ $CD$ を求めよ。

1. 問題の内容

右の図において、$\angle CBD = 60^\circ$, $\angle DAB = 30^\circ$, $\angle DBA = 15^\circ$, $AB = 50m$ であるとき、塔の高さ $CD$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$ について、$\angle ADB$ を求める。

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - (30^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

次に、正弦定理を用いて $AD$ の長さを求める。

$\frac{AD}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 135^\circ}$

$AD = \frac{AB \sin 15^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{50 \sin 15^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{50 \sin 15^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \sin 15^\circ = 50\sqrt{2} \sin 15^\circ$.

ここで $\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

よって、$AD = 50\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{50(\sqrt{12}-2)}{4} = \frac{50(2\sqrt{3}-2)}{4} = \frac{100(\sqrt{3}-1)}{4} = 25(\sqrt{3}-1)$.

次に、$\triangle CAD$ について、$\angle CAD = 30^\circ$ であるので、$\tan 30^\circ = \frac{CD}{AD}$ より、

$CD = AD \tan 30^\circ = 25(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 25 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 25 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 25 \left(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{25(3-\sqrt{3})}{3}$.

しかし、$\angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$ であり、三角形 ABC は直角三角形である。

$\angle BAC = 30^{\circ} 、\angle ABC = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}、\angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 75^{\circ} = 75^{\circ}$より、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。よって、$AC = AB = 50$。

$\triangle ADC$ は直角三角形であり、$\tan 30^{\circ} = \frac{CD}{AD}$ を満たす。

$\angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$\angle DCB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

次に、$\triangle BCD$ において、$\angle CBD = 60^\circ$ であり、$\angle DCB = 30^\circ$ なので、$\angle CDB = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. つまり、$\triangle BCD$ は直角三角形である。

$\tan 60^\circ = \frac{CD}{BD} \implies CD = BD \tan 60^\circ = \sqrt{3} BD$.

$\triangle ADC$ において、$AC = 50$ であり、$\angle CAD = 30^\circ$ なので、$CD = AC \sin 30^\circ = 50 \sin 30^\circ = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25$.

3. 最終的な答え

$CD = 25m$