三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを$1:3$, $1:2$に内分するとき、BP : PCを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを$1:3$, $1:2$に内分するとき、BP : PCを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形ABCと直線ARQに適用する。

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より、$AR:RB = 1:2$であるから、$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$。

また、$AQ:QC = 1:3$であるから、$CQ:QA = 3:1$。したがって、$\frac{CQ}{QA} = 3$。

これらの値をメネラウスの定理の式に代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot 3 = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$

したがって、BP : PC = 2 : 3

3. 最終的な答え

BP : PC = 2 : 3