三角形ABCにおいて、点P, Rがそれぞれ辺BC, ABをBP:PC = 9:1, AR:RB = 1:3の比に内分するとき、線分CQ:QAを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点P, Rがそれぞれ辺BC, ABをBP:PC = 9:1, AR:RB = 1:3の比に内分するとき、線分CQ:QAを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解く。

三角形ABと直線RCについてメネラウスの定理を適用する。メネラウスの定理は、三角形ABCの辺AB, BC, CA上にそれぞれ点P, Q, Rがあるとき、これらが一直線上にあるための必要十分条件が、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

であるというもの。

この問題では、三角形ABと直線RCについて、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つ。

与えられた値より、AR:RB = 1:3、BP:PC = 9:1なので、

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$

$\frac{BP}{PC} = \frac{9}{1} = 9$

したがって、

$\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$3 \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{3}$

よって、CQ:QA = 1:3

3. 最終的な答え

CQ:QA = 1:3