問題28：二次方程式 $x^2 + 3(a-2)x + 5a - 7 = 0$ の解の一つが -3 であるとき、$a$ の値を求めよ。また、この方程式の他の解を求めよ。

1. 問題の内容

問題28：二次方程式 $x^2 + 3(a-2)x + 5a - 7 = 0$ の解の一つが -3 であるとき、$a$ の値を求めよ。また、この方程式の他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 解の一つが $x = -3$ であるので、与えられた二次方程式に代入する。

$(-3)^2 + 3(a-2)(-3) + 5a - 7 = 0$

(2) 上の式を整理して $a$ について解く。

$9 - 9(a-2) + 5a - 7 = 0$

$9 - 9a + 18 + 5a - 7 = 0$

$-4a + 20 = 0$

$4a = 20$

$a = 5$

(3) 求めた $a$ の値を元の二次方程式に代入する。

$x^2 + 3(5-2)x + 5(5) - 7 = 0$

$x^2 + 9x + 18 = 0$

(4) 二次方程式を解く。

$(x+3)(x+6) = 0$

$x = -3, -6$

(5) 解の一つは問題文より $x = -3$ なので、他の解は $x = -6$ である。

3. 最終的な答え

$a=5$, 他の解は $x=-6$