2次方程式 $2x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha\beta = \frac{3}{2}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2(\frac{3}{2}) = 4 - 3 = 1$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を求める。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \frac{3}{2}(-2) = -3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を求める。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 1$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = -3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$