三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを $1:2$ の比に内分するとき、線分BPとPCの比 $BP:PC$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABを $1:2$ の比に内分するとき、線分BPとPCの比 $BP:PC$ を求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。

三角形ABCにおいて、直線BRが辺ACと点Qで交わり、辺BCと点Pで交わっている。

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題の条件より、$AR:RB = 2:1$、$CQ:QA = 1:2$ であるから、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

よって、$BP:PC = 1:1$

3. 最終的な答え

$BP:PC = 1:1$