三角形ABCにおいて、点P, Qがそれぞれ辺BC, ACを $BP:PC = 9:4$、 $AQ:QC = 3:2$ の比に内分するとき、線分ARとRBの比 $AR:RB$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点P, Qがそれぞれ辺BC, ACを $BP:PC = 9:4$、 $AQ:QC = 3:2$ の比に内分するとき、線分ARとRBの比 $AR:RB$ を求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用する。

三角形ABRにおいて、直線CPQを考える。メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

ここで、$BC = BP + PC = 9+4 = 13$、$CP = 4$、$AQ = 3$、$AC = AQ+QC = 3+2=5$ なので、$QC = 2$

$\frac{BC}{CP} = \frac{13}{4}$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{2}{3}$

メネラウスの定理を線分BRに関する三角形ACRと直線BPで用いる。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{18}{12} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

AR : RB = 2 : 3