三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺BCとACを内分している。BQ:QC = 3:1, AR:RC = 1:2であるとき、AO:OQを求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点QとRがそれぞれ辺BCとACを内分している。BQ:QC = 3:1, AR:RC = 1:2であるとき、AO:OQを求めなさい。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形BQCと直線ARに対して適用します。

メネラウスの定理より、

$\frac{BR}{RA} \cdot \frac{AO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CB} = 1$

問題文から $AR:RC = 1:2$ なので、$AC = AR + RC = AR + 2AR = 3AR$ より、$AR = \frac{1}{3} AC$。よって、$RC = \frac{2}{3} AC$。したがって、$BR = \frac{AC}{AR} = 3$。

従って、$\frac{BR}{RA} = \frac{AC}{AR}= \frac{3AR}{AR} = 3$ となります。

また、BQ:QC = 3:1なので、$BC = BQ + QC = 3QC + QC = 4QC$。よって、$QC = \frac{1}{4} BC$。したがって、$\frac{QC}{CB} = \frac{1}{4}$ となります。

これらの値をメネラウスの定理の式に代入すると、

$3 \cdot \frac{AO}{OQ} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{AO}{OQ} = 1$

$\frac{AO}{OQ} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

AO : OQ = 4 : 3