三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。線分BQと線分CRの交点をOとするとき、CO:ORを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを3:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。線分BQと線分CRの交点をOとするとき、CO:ORを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して、CO:ORを求める。三角形ABQにおいて、直線CRを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = 2$

よって、BO:OQ = 2:1

次に、三角形ACRにおいて、直線BQを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{CO}{OR} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{CO}{OR} = 1$

チェバの定理を用いて考えることもできる。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{QC + QB}{QC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = \frac{3}{2}$

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CO}{OB} = \frac{2}{3}$

次に、線分ARを基準として考える。点Qを通るようにACを延長し、点Rを通るようにABを延長した交点を点Oとする。

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{1}$ であるから、メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} * \frac{BO}{OQ} * \frac{QC}{CA} = 1$ なので、$\frac{2}{1} * \frac{BO}{OQ} * \frac{1}{4} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = 2$ である。

同様に、$\frac{AQ}{QC} * \frac{CO}{OR} * \frac{RB}{BA} = 1$ なので、$\frac{3}{1} * \frac{CO}{OR} * \frac{1}{3} = 1$

$\frac{CO}{OR} = 1$ である。

3. 最終的な答え

CO:OR = 1:1