関数 $y = ax^2$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値をそれぞれ求める。 (1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る。 (2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ である。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ について、以下の2つの条件を満たすときの $a$ の値をそれぞれ求める。

(1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る。

(2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ である。

2. 解き方の手順

(1) グラフが点 $(8, -16)$ を通る場合

グラフが点 $(8, -16)$ を通るということは、$x = 8$ のとき $y = -16$ となることを意味する。

したがって、関数 $y = ax^2$ に $x = 8$ と $y = -16$ を代入して $a$ を求める。

$-16 = a(8^2)$

$-16 = 64a$

$a = \frac{-16}{64}$

$a = -\frac{1}{4}$

(2) $x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加するときの変化の割合が $-6$ である場合

変化の割合は $\frac{yの変化量}{xの変化量}$ で表される。

$x$ が $-4$ から $2$ まで変化するとき、$y$ は $a(-4)^2 = 16a$ から $a(2)^2 = 4a$ まで変化する。

よって、変化の割合は $\frac{4a - 16a}{2 - (-4)}$ となる。

これが $-6$ に等しいので、次の方程式を解いて $a$ を求める。

$\frac{4a - 16a}{2 - (-4)} = -6$

$\frac{-12a}{6} = -6$

$-2a = -6$

$a = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{1}{4}$

(2) $a = 3$