三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BQとCRの交点をOとする。BO:OQの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AC, ABを1:2の比に内分するとき、線分BQとCRの交点をOとする。BO:OQの比を求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形ACRと直線BQに適用します。

メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題の条件から$AQ:QC=1:2$であるから、$\frac{AQ}{QC} = \frac{1}{2}$。

また、$AR:RB=1:2$であるから、$BR:AB=2:3$となる。

すると$CB = CA + AB$となり、$\frac{CB}{BR} = \frac{CA+AB}{BR}$。

しかしながら、メネラウスの定理を適用する三角形の辺の比を考える必要があるため、$\frac{CB}{BR}$を直接求めることは難しい。

そこで、代わりにチェバの定理を利用する。チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

AR/RB = 1/2

AQ/QC = 1/2 なので QC = 2AQ

チェバの定理をベクトルで考えると、

$\vec{AO}=s\vec{AR}+(1-s)\vec{AC}$,

$\vec{AO}=t\vec{AQ}+(1-t)\vec{AB}$.

$\vec{AR}=\frac{1}{3}\vec{AB}$,

$\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{AC}$を代入すると、

$\vec{AO}=\frac{s}{3}\vec{AB}+(1-s)\vec{AC}$,

$\vec{AO}=t\frac{1}{3}\vec{AC}+(1-t)\vec{AB}$.

$\vec{AB}$,$\vec{AC}$は一次独立なので、

$\frac{s}{3}=1-t$, $1-s=\frac{t}{3}$.

$s=3-3t$, $1-(3-3t)=\frac{t}{3}$.

$-2+3t=\frac{t}{3}$,

$9t-t=6$, $8t=6$, $t=\frac{3}{4}$.

$\vec{AO}=\frac{1}{4}\vec{AC}+\frac{1}{4}\vec{AB}$,

よって$\vec{AQ}=\frac{1}{3}\vec{AC}$より

$\vec{OQ} = \vec{AQ} - \vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{AC}-\frac{1}{4}\vec{AC}-\frac{1}{4}\vec{AB}=\frac{1}{12}\vec{AC}-\frac{1}{4}\vec{AB}$

$\vec{BO} = \vec{AO} - \vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{AC}-\frac{3}{4}\vec{AB}$

点Oは線分BQ上にあるので, $BO:OQ=u:1-u$とおくと

$\vec{AO}=(1-u)\vec{AB}+u\vec{AQ}$.

$\vec{AO}=k\vec{AB}+\frac{u}{3}\vec{AC}$.

$\vec{AO}=\frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{4}\vec{AC}$.

$k+\frac{u}{3}=1$ かつ $k = \frac{3}{4}u$ より $\frac{3}{4}u + \frac{u}{3} = 1$.

$\frac{9u+4u}{12} = 1$, $\frac{13u}{12}=1$ $u=\frac{12}{13}$.

$BO:OQ = u:1-u = \frac{12}{13}:\frac{1}{13} = 12:1$.

3. 最終的な答え

BO:OQ = 12:1