2次方程式 $2x^2 - 10x + 9 = 0$ の解を求め、その解の絶対値を使って$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^6 + \beta^6$ を計算し、最後に $n < \beta^6 < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める問題です。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 10x + 9 = 0$ の解を求め、その解の絶対値を使って$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^6 + \beta^6$ を計算し、最後に $n < \beta^6 < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

今回の場合は、$a = 2$, $b = -10$, $c = 9$ なので、

$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(2)(9)}}{2(2)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{2}$

したがって、$x_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}$ となります。

次に、$\alpha$ と $\beta$ を計算します。

$\alpha = |x_1 - 3| = |\frac{5 + \sqrt{7}}{2} - 3| = |\frac{5 + \sqrt{7} - 6}{2}| = |\frac{\sqrt{7} - 1}{2}| = \frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

$\beta = |x_2 - 3| = |\frac{5 - \sqrt{7}}{2} - 3| = |\frac{5 - \sqrt{7} - 6}{2}| = |\frac{-1 - \sqrt{7}}{2}| = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$

次に、$\alpha + \beta$ を計算します。

$\alpha + \beta = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} + \frac{1 + \sqrt{7}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

次に、$\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha \beta = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{7}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - 1^2}{4} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を計算します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (\sqrt{7})^2 - 2(\frac{3}{2}) = 7 - 3 = 4$

次に、$\alpha^6 + \beta^6$ を計算します。$\alpha^2+\beta^2 = 4$と$\alpha+\beta = \sqrt{7}$、$\alpha\beta=3/2$を利用します。

$(\alpha^2 + \beta^2)^3 = \alpha^6 + 3\alpha^4\beta^2 + 3\alpha^2\beta^4 + \beta^6 = \alpha^6 + \beta^6 + 3\alpha^2\beta^2(\alpha^2 + \beta^2)$

$\alpha^6 + \beta^6 = (\alpha^2 + \beta^2)^3 - 3(\alpha\beta)^2 (\alpha^2 + \beta^2) = 4^3 - 3(\frac{3}{2})^2(4) = 64 - 3(\frac{9}{4})(4) = 64 - 27 = 37$

最後に、$n < \beta^6 < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めます。

$\beta^6 = (\frac{1 + \sqrt{7}}{2})^6 \approx (1.823)^6 \approx 34.47$

よって、$n = 34$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 7

ウ: 2

エ: 7

オ: 3

カ: 2

キ: 4

クケ: 37

コサ: 34