関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の変域から $y$ の最大値と最小値を考える。$x$ の変域に $x = 0$ が含まれているため、$y$ の最小値は $b=0$ となる。

次に、$y$ の最大値が $24$ であることを利用して $a$ の値を求める。$x = -4$ と $x = 3$ のいずれかで $y$ が最大値 $24$ をとる。

$x = -4$ のとき、$y = a(-4)^2 = 16a$

$x = 3$ のとき、$y = a(3)^2 = 9a$

$y$ の最大値が $24$ なので、$16a = 24$ または $9a = 24$ が成り立つ。

もし $9a=24$ だとすると、$a = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ となり、$16a = 16 * \frac{8}{3} = \frac{128}{3} > 24$ なので矛盾する。

したがって、$16a = 24$ より、$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ となる。

このとき、関数は $y = \frac{3}{2}x^2$ であり、$x=-4$ のとき $y = \frac{3}{2}(-4)^2 = \frac{3}{2} \times 16 = 24$ であり、$x=3$ のとき $y = \frac{3}{2}(3)^2 = \frac{3}{2} \times 9 = \frac{27}{2} = 13.5 < 24$ であるので、$y$ の最大値が $24$ になることは妥当である。

$a>0$ なので、$y$ の最小値は $x=0$ のとき $y=0$ となる。よって $b=0$ である。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$

$b = 0$