与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + \frac{n}{2}$ (3) $a_1 = -1, a_{n+1} = 2a_n - 3^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + \frac{n}{2}$

(3) $a_1 = -1, a_{n+1} = 2a_n - 3^n$

2. 解き方の手順

(1) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を解きます。

特性方程式 $x = 2x + 3$ を解くと、$x = -3$ となります。

そこで、$a_n + 3 = b_n$ とおくと、$a_n = b_n - 3$ より、

$b_{n+1} - 3 = 2(b_n - 3) + 3 = 2b_n - 6 + 3 = 2b_n - 3$

よって、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 2 の等比数列です。

$b_1 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$ なので、$b_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

したがって、$a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$

(2) 漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + \frac{n}{2}$ を解きます。

$a_{n+1} - f(n+1) = \frac{3}{4} (a_n - f(n))$ となるように関数 $f(n)$ を定めます。

$a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n - \frac{3}{4} f(n) + f(n+1)$

$a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + \frac{n}{2}$

$\frac{n}{2} = -\frac{3}{4} f(n) + f(n+1)$

$2n = -3 f(n) + 4 f(n+1)$

$f(n) = An + B$ と仮定すると、

$2n = -3(An + B) + 4(A(n+1) + B) = -3An - 3B + 4An + 4A + 4B = An + 4A + B$

$A = 2$, $4A + B = 0$ より、$B = -8$

よって、$f(n) = 2n - 8$ となります。

したがって、$a_{n+1} - (2(n+1) - 8) = \frac{3}{4} (a_n - (2n - 8))$

$b_n = a_n - (2n - 8)$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{3}{4} b_n$

$b_1 = a_1 - (2(1) - 8) = 2 - (2 - 8) = 8$

$b_n = 8 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1}$

$a_n = 8 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8$

$a_n = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8 = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} + 2(n-4)$

(3) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$ を解きます。

$a_{n+1} / 3^{n+1} = (2/3) (a_n / 3^n) - 1/3$

$b_n = a_n / 3^n$ とおくと、$b_{n+1} = (2/3) b_n - 1/3$

特性方程式 $x = (2/3) x - 1/3$ より、$(1/3) x = -1/3$ なので、$x = -1$

$b_{n+1} + 1 = (2/3) (b_n + 1)$

$c_n = b_n + 1$ とおくと、$c_{n+1} = (2/3) c_n$

$c_1 = b_1 + 1 = a_1/3^1 + 1 = -1/3 + 1 = 2/3$

$c_n = (2/3) (2/3)^{n-1} = (2/3)^n$

$b_n = (2/3)^n - 1$

$a_n = 3^n ((2/3)^n - 1) = 2^n - 3^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1} - 3$

1: 5

2: 2

3: 3

(2) $a_n = 4 \cdot (\frac{3}{4})^{n-1} + 2n - 8$

4: 4

5: 3

6: 4

7: 2

8: 4

(3) $a_n = 2^n - 3^n$

9: 2

10: 3