画像には、多項式の計算、式の展開に関する問題が4つの大問に分かれて記載されています。各問題について、計算結果、または展開結果を求める必要があります。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、多項式の計算、式の展開に関する問題が4つの大問に分かれて記載されています。各問題について、計算結果、または展開結果を求める必要があります。

2. 解き方の手順

各問題について、順番に解き方を説明します。

**問1**

(1) $2x(xy^2 + 4x^2y)$

分配法則を用いて展開します。

$2x(xy^2 + 4x^2y) = 2x \cdot xy^2 + 2x \cdot 4x^2y = 2x^2y^2 + 8x^3y$

(2) $(6x^3y^2 - 9x^3y^4) \div (-3x^3y^2)$

各項を $-3x^3y^2$ で割ります。

$(6x^3y^2 - 9x^3y^4) \div (-3x^3y^2) = \frac{6x^3y^2}{-3x^3y^2} - \frac{9x^3y^4}{-3x^3y^2} = -2 + 3y^2$

(3) $(2a^3b^2c^3 + 3a^2b^3c^4 - 4ab^2c^3) \div \frac{1}{3}abc$

各項を $\frac{1}{3}abc$ で割ります。つまり、各項に $3/abc$ を掛けます。

$(2a^3b^2c^3 + 3a^2b^3c^4 - 4ab^2c^3) \div \frac{1}{3}abc = (2a^3b^2c^3 + 3a^2b^3c^4 - 4ab^2c^3) \cdot \frac{3}{abc}$

$= 6a^2bc^2 + 9ab^2c^3 - 12bc^2$

(4) $3m(2m + n) + 2n(m - 2n)$

分配法則を用いて展開し、同類項をまとめます。

$3m(2m + n) + 2n(m - 2n) = 6m^2 + 3mn + 2mn - 4n^2 = 6m^2 + 5mn - 4n^2$

**問2**

(1) $(2a - 3)(b + 2)$

分配法則を用いて展開します。

$(2a - 3)(b + 2) = 2a(b + 2) - 3(b + 2) = 2ab + 4a - 3b - 6$

(2) $(x - 3y)(x + 6y)$

分配法則を用いて展開します。

$(x - 3y)(x + 6y) = x(x + 6y) - 3y(x + 6y) = x^2 + 6xy - 3xy - 18y^2 = x^2 + 3xy - 18y^2$

**問3**

(1) $(x - 5)(x - 1)$

分配法則を用いて展開します。

$(x - 5)(x - 1) = x(x - 1) - 5(x - 1) = x^2 - x - 5x + 5 = x^2 - 6x + 5$

(2) $(x - 4)(x + 2)$

分配法則を用いて展開します。

$(x - 4)(x + 2) = x(x + 2) - 4(x + 2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$

(3) $(3x + 4)(2x - 5)$

分配法則を用いて展開します。

$(3x + 4)(2x - 5) = 3x(2x - 5) + 4(2x - 5) = 6x^2 - 15x + 8x - 20 = 6x^2 - 7x - 20$

(4) $(2a + 3b)(3a - 2b)$

分配法則を用いて展開します。

$(2a + 3b)(3a - 2b) = 2a(3a - 2b) + 3b(3a - 2b) = 6a^2 - 4ab + 9ab - 6b^2 = 6a^2 + 5ab - 6b^2$

(5) $(x - 3)^2$

$(x-3)^2 = (x-3)(x-3) = x^2 -6x + 9$

**問4**

(1) $(x - y + 3)(x - y - 3)$

$A = x - y$ と置換すると

$(A + 3)(A - 3) = A^2 - 9$

元の変数に戻すと

$(x-y)^2 -9 = x^2 -2xy + y^2 -9$

(2) $(a - b + 3c)^2$

$(a - b + 3c)^2 = (a - b + 3c)(a - b + 3c) = a^2 + b^2 + 9c^2 - 2ab + 6ac - 6bc$

3. 最終的な答え

問1

(1) $2x^2y^2 + 8x^3y$

(2) $-2 + 3y^2$

(3) $6a^2bc^2 + 9ab^2c^3 - 12bc^2$

(4) $6m^2 + 5mn - 4n^2$

問2

(1) $2ab + 4a - 3b - 6$

(2) $x^2 + 3xy - 18y^2$

問3

(1) $x^2 - 6x + 5$

(2) $x^2 - 2x - 8$

(3) $6x^2 - 7x - 20$

(4) $6a^2 + 5ab - 6b^2$

(5) $x^2 - 6x + 9$

問4

(1) $x^2 - 2xy + y^2 - 9$

(2) $a^2 + b^2 + 9c^2 - 2ab + 6ac - 6bc$