与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。問題は2つあります。 (1) $\vec{a} = (2, -3, 1)$, $\vec{b} = (-3, 1, 2)$ (2) $\vec{a} = (2, 4, 3)$, $\vec{b} = (-2, 1, 0)$

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。問題は2つあります。

(1) $\vec{a} = (2, -3, 1)$, $\vec{b} = (-3, 1, 2)$

(2) $\vec{a} = (2, 4, 3)$, $\vec{b} = (-2, 1, 0)$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ で計算できます。また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$ の関係があります。ここで、$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ はベクトル $\vec{a}$ の大きさです。

(1)

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (-3)(1) + (1)(2) = -6 - 3 + 2 = -7$

次に、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-7}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \arccos{(-\frac{1}{2})} = \frac{2\pi}{3}$ (120度)

(2)

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-2) + (4)(1) + (3)(0) = -4 + 4 + 0 = 0$

次に、ベクトルの大きさを計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{29}\sqrt{5}} = 0$

$\theta = \arccos{(0)} = \frac{\pi}{2}$ (90度)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$, $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\theta = \frac{\pi}{2}$