与えられた連立方程式を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 問1: (1) $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - 4y = 1 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$ 問2: (1) $\begin{cases} x = y + 1 \\ 4x + y = 14 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x = 3y + 2 \\ x + 4y = 9 \end{cases}$ 問3: (1) $\begin{cases} 4x - y = 10 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x + 3y = 19 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 2(x+1) - (y+1) = 6 \\ 3(x+y) - 4y = 7 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} 6x - 2(2x - 3y) = 2 \\ 5x - 3(x-y) = -1 \end{cases}$ 問4: $\begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ ax - by = 5 \end{cases}$ と $\begin{cases} x - y = 2 \\ bx - ay = 1 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

問1: (1) $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - 4y = 1 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$

問2: (1) $\begin{cases} x = y + 1 \\ 4x + y = 14 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x = 3y + 2 \\ x + 4y = 9 \end{cases}$

問3: (1) $\begin{cases} 4x - y = 10 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x + 3y = 19 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 2(x+1) - (y+1) = 6 \\ 3(x+y) - 4y = 7 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} 6x - 2(2x - 3y) = 2 \\ 5x - 3(x-y) = -1 \end{cases}$

問4: $\begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ ax - by = 5 \end{cases}$ と $\begin{cases} x - y = 2 \\ bx - ay = 1 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

問1:

(1) $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - 4y = 1 \end{cases}$

2番目の式から $x = 4y + 1$ を得ます。

これを1番目の式に代入すると、$2(4y+1) + y = 11 \Rightarrow 8y + 2 + y = 11 \Rightarrow 9y = 9 \Rightarrow y = 1$。

$x = 4(1) + 1 = 5$。

(2) $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$

2番目の式から $x = y + 1$ を得ます。

これを1番目の式に代入すると、$2(y+1) + 3y = 12 \Rightarrow 2y + 2 + 3y = 12 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$。

$x = 2 + 1 = 3$。

問2:

(1) $\begin{cases} x = y + 1 \\ 4x + y = 14 \end{cases}$

1番目の式を2番目の式に代入すると、$4(y+1) + y = 14 \Rightarrow 4y + 4 + y = 14 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$。

$x = 2 + 1 = 3$。

(2) $\begin{cases} x = 3y + 2 \\ x + 4y = 9 \end{cases}$

1番目の式を2番目の式に代入すると、$3y + 2 + 4y = 9 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$。

$x = 3(1) + 2 = 5$。

問3:

(1) $\begin{cases} 4x - y = 10 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

1番目の式を3倍すると $12x - 3y = 30$。

これを2番目の式と足すと、$13x = 39 \Rightarrow x = 3$。

$4(3) - y = 10 \Rightarrow 12 - y = 10 \Rightarrow y = 2$。

(2) $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x + 3y = 19 \end{cases}$

2番目の式から1番目の式を引くと、$4y = 20 \Rightarrow y = 5$。

$2x - 5 = -1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$。

(3) $\begin{cases} 2(x+1) - (y+1) = 6 \\ 3(x+y) - 4y = 7 \end{cases}$ を整理すると、$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

2番目の式から1番目の式を引くと、$x = 2$。

$2(2) - y = 5 \Rightarrow 4 - y = 5 \Rightarrow y = -1$。

(4) $\begin{cases} 6x - 2(2x - 3y) = 2 \\ 5x - 3(x-y) = -1 \end{cases}$ を整理すると、$\begin{cases} 2x + 6y = 2 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases}$

$\begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases}$

2番目の式から1番目の式を引くと、$x = -2$。

$-2 + 3y = 1 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$。

問4:

$\begin{cases} 3x - 4y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases}$ を解きます。

2番目の式から $x = y + 2$ を得ます。

これを1番目の式に代入すると、$3(y+2) - 4y = 5 \Rightarrow 3y + 6 - 4y = 5 \Rightarrow -y = -1 \Rightarrow y = 1$。

$x = 1 + 2 = 3$。

したがって、$x = 3$, $y = 1$ は2つの連立方程式の解です。

これを $\begin{cases} ax - by = 5 \\ bx - ay = 1 \end{cases}$ に代入すると、$\begin{cases} 3a - b = 5 \\ 3b - a = 1 \end{cases}$。

1番目の式を3倍すると $9a - 3b = 15$。

これを2番目の式と足すと、$8a = 16 \Rightarrow a = 2$。

$3(2) - b = 5 \Rightarrow 6 - b = 5 \Rightarrow b = 1$。

3. 最終的な答え

問1: (1) $x = 5$, $y = 1$ (2) $x = 3$, $y = 2$

問2: (1) $x = 3$, $y = 2$ (2) $x = 5$, $y = 1$

問3: (1) $x = 3$, $y = 2$ (2) $x = 2$, $y = 5$ (3) $x = 2$, $y = -1$ (4) $x = -2$, $y = 1$

問4: $a = 2$, $b = 1$