$a = (2 + \sqrt{5})^2$, $b = (2 - \sqrt{5})^2$ とするとき、以下の問いに答える。 (i) $a+b$ の値を求める。 (ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10$ を因数分解する。 (iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a = (2 + \sqrt{5})^2$, $b = (2 - \sqrt{5})^2$ とするとき、以下の問いに答える。

(i) $a+b$ の値を求める。

(ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10$ を因数分解する。

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) $a$ と $b$ の値をそれぞれ計算し、$a+b$ を計算する。

$a = (2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

$b = (2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、

$a + b = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 9 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 18$

(ii) 与式を因数分解する。

$x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10 = xy(x+y) - 5xy + 2(x+y) - 10 = xy(x+y-5) + 2(x+y-5) = (xy+2)(x+y-5)$

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10$ の値を求める。

与式は $ab(a+b) - 5ab + 2(a+b) - 10$ と変形できる。

(i) より $a+b = 18$ である。また、

$ab = (2+\sqrt{5})^2 (2-\sqrt{5})^2 = ((2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}))^2 = (2^2 - (\sqrt{5})^2)^2 = (4-5)^2 = (-1)^2 = 1$

したがって、

$ab(a+b) - 5ab + 2(a+b) - 10 = 1 \cdot 18 - 5 \cdot 1 + 2 \cdot 18 - 10 = 18 - 5 + 36 - 10 = 39$

3. 最終的な答え

(i) $a+b = 18$

(ii) $x^2y + xy^2 - 5xy + 2x + 2y - 10 = (xy+2)(x+y-5)$

(iii) $a^2b + ab^2 - 5ab + 2a + 2b - 10 = 39$