実数 $x, y, z$ が $x+y+z=0$ および $xyz = -2$ を満たすとき、$xy+yz+zx$ と $|x|+|y|+|z|$ の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x+y+z=0$ および $xyz = -2$ を満たすとき、$xy+yz+zx$ と $|x|+|y|+|z|$ の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $xy+yz+zx$ の範囲を求める。

$x+y+z = 0$ より、$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 0$ であるから、

$x^2+y^2+z^2 = -2(xy+yz+zx)$ となる。

また、$x,y,z$ は3次方程式 $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ の解である。

$x+y+z=0$ および $xyz=-2$ より、

$t^3 + (xy+yz+zx)t + 2 = 0$ となる。

この方程式が実数解を持つための条件を考える。

$f(t) = t^3 + (xy+yz+zx)t + 2$ とおく。

$f'(t) = 3t^2 + (xy+yz+zx)$

$xy+yz+zx > 0$ のとき、$f'(t) > 0$ となり、$f(t)$ は単調増加なので、実数解は1つだけとなる。しかし、$xyz=-2$ なので、実数解は3つ存在する必要がある。したがって、$xy+yz+zx \le 0$ である。

$xy+yz+zx = a$ とおく。$f'(t) = 3t^2 + a$

$f'(t)=0$ となるのは、$t = \pm \sqrt{-\frac{a}{3}}$ のときである。$a \le 0$ であるから、これは実数解を持つ。

$f(t)$ が3つの実数解を持つためには、$f(\sqrt{-\frac{a}{3}})f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) \le 0$ が必要である。

$f(\sqrt{-\frac{a}{3}}) = (-\frac{a}{3})\sqrt{-\frac{a}{3}} + a\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2 = \frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2$

$f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) = (\frac{a}{3})\sqrt{-\frac{a}{3}} - a\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2 = -\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2$

$f(\sqrt{-\frac{a}{3}})f(-\sqrt{-\frac{a}{3}}) = (2+\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}})(2-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}) = 4 - \frac{4a^2}{9}(-\frac{a}{3}) = 4+\frac{4a^3}{27} \le 0$

$4 \le -\frac{4a^3}{27}$

$1 \le -\frac{a^3}{27}$

$-27 \ge a^3$

$a \le -3$

したがって、$xy+yz+zx \le -3$

また、例えば $(x,y,z) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ のとき、$x+y+z=0$ かつ $xyz = -4$となるため$xyz=-2$を満たさない

$t^3-3t+2 = (t-1)^2(t+2)$

$t^3-3t-2=0$ 解は$t=-1, -1, 2$ このとき、$x=-1,y=-1,z=2$

$xy+yz+zx = 1 -2 -2 = -3$ $x+y+z=0$を満たす

$x,y,z$が$-1, -1, 2$ のとき $|x|+|y|+|z| = |-1|+|-1|+|2| = 1+1+2 = 4$

$x, y, z$ の値の範囲に制限はないため、最小値は存在しない

$-3 \le xy+yz+zx$　は誤り。

例えば、解が $t = \sqrt{2}, \sqrt{2}, -2\sqrt{2}$ の場合は $x+y+z = 0$ を満たすが、$xyz=-4$なので条件を満たさない。

解の組の一つとして $(-1, -1, 2)$ があり、このとき $xy+yz+zx = 1 - 2 - 2 = -3$ である。

$xy+yz+zx = -3$ を与える解は存在するため、$-3$ は取りうる値である。

$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = -2(xy+yz+zx)$

$x^2+y^2+z^2 \ge 0$ なので、$-2(xy+yz+zx) \ge 0$ より $xy+yz+zx \le 0$

もし、$xy+yz+zx=-4$ とすると、$t^3-4t+2=0$ 実数解が存在する。

$x^2+y^2+z^2=8$。

$|x|+|y|+|z|$ の最小値を求める

$x+y+z=0$より、少なくとも一つは正で少なくとも一つは負になる

例えば、解は $-1, -1, 2$　の場合$|-1|+|-1|+|2|=4$

解は $-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2\sqrt{2}$の場合 $|-\sqrt{2}|+|-\sqrt{2}|+|2\sqrt{2}|=4\sqrt{2}$

$|x|+|y|+|z|$の最大値は存在しない

3. 最終的な答え

$xy+yz+zx$ の取りうる値の範囲: $-3 \le xy+yz+zx \le 0$

よって、セソ = -3, タチ = 0

$|x|+|y|+|z|$ の取りうる値の範囲: 4 以上であり最大値は存在しない。

よって、ツ = 4, テ = -