問題は、与えられた定理（整数係数の方程式の有理数解に関する定理）を用いて、$1 + \sqrt{5}$ が無理数であることを証明する穴埋め問題です。具体的には、2次方程式 $x^2 - \boxed{1}x - \boxed{2} = 0$ の係数を埋め、さらに有理数解の候補となる $x = \pm \boxed{3}, \pm \boxed{4}, \pm \boxed{5}$ を求める部分と、不等式 $\boxed{3} < \boxed{4} < \boxed{5}$ の空欄を埋める部分があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた定理（整数係数の方程式の有理数解に関する定理）を用いて、$1 + \sqrt{5}$ が無理数であることを証明する穴埋め問題です。具体的には、2次方程式 $x^2 - \boxed{1}x - \boxed{2} = 0$ の係数を埋め、さらに有理数解の候補となる $x = \pm \boxed{3}, \pm \boxed{4}, \pm \boxed{5}$ を求める部分と、不等式 $\boxed{3} < \boxed{4} < \boxed{5}$ の空欄を埋める部分があります。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 + \sqrt{5}$ が解である2次方程式を求めます。

$x = 1 + \sqrt{5}$ より、$x - 1 = \sqrt{5}$。

両辺を2乗すると、$(x - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$ となり、$x^2 - 2x + 1 = 5$。

したがって、$x^2 - 2x - 4 = 0$。

問題文にある方程式は $x^2 - \boxed{1}x - \boxed{2} = 0$ なので、それぞれの空欄には2と4が入ります。

したがって、$x^2-2x-4=0$

次に、与えられた定理から、この2次方程式の有理数解の候補を求めます。

定数項は-4なので、-4の約数は±1, ±2, ±4です。

最高次の係数は1なので、1の約数は±1です。

したがって、有理数解の候補は $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{4}{1}$ すなわち $\pm 1, \pm 2, \pm 4$となります。問題文では $\pm \boxed{3}, \pm \boxed{4}, \pm \boxed{5}$ となっているので、$\pm 1, \pm 2, \pm 4$ と対応させると、$\pm \boxed{1}, \pm \boxed{2}, \pm \boxed{4}$ となります。

問題文の穴埋め形式に合わせると、有理数解の候補は $x = \pm \frac{\boxed{2}の約数}{\boxed{1}の約数} = \pm \boxed{1}, \pm \boxed{2}, \pm \boxed{4}$ となります。したがって、空欄は順に1, 2, 4です。

これらのどの数も$x^2-2x-4=0$を満たさないことを確認します。

$x= \pm 1, \pm 2, \pm 4$を代入して確認すると、$x=1$のとき$1^2-2\cdot1-4 = -5 \neq 0$, $x=-1$のとき$(-1)^2-2\cdot(-1)-4=-1 \neq 0$ $x=2$のとき$2^2-2\cdot2-4 = -4 \neq 0$, $x=-2$のとき$(-2)^2-2\cdot(-2)-4=4 \neq 0$, $x=4$のとき$4^2-2\cdot4-4 = 4 \neq 0$, $x=-4$のとき$(-4)^2-2\cdot(-4)-4=20 \neq 0$。

不等式 $\boxed{3} < \boxed{4} < \boxed{5}$ ですが、問題文の誤植と思われます。

3. 最終的な答え

問題文の空欄を埋めると以下のようになります。

$x^2 - \boxed{2}x - \boxed{4} = 0$

$x = \pm \boxed{1}, \pm \boxed{2}, \pm \boxed{4}$

$1 < 2 < 4$