与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y - 1)x + (2y^2 - 3y - 2)$

次に、$2y^2 - 3y - 2$ を因数分解します。

$2y^2 - 3y - 2 = (2y + 1)(y - 2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$x^2 + (3y - 1)x + (2y + 1)(y - 2)$

ここで、たすき掛けを試みます。

$x^2 + (3y - 1)x + (2y + 1)(y - 2) = (x + (2y + 1))(x + (y - 2))$

展開して確認します。

$(x + (2y + 1))(x + (y - 2)) = x^2 + (y - 2)x + (2y + 1)x + (2y + 1)(y - 2)$

$= x^2 + (3y - 1)x + 2y^2 - 4y + y - 2$

$= x^2 + (3y - 1)x + 2y^2 - 3y - 2$

元の式と一致するので、因数分解は正しいです。

$x^2 + 3xy + 2y^2 - x - 3y - 2 = (x + 2y + 1)(x + y - 2)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x + y - 2)$