問題は、以下の3つの条件を満たす $a, b$ の例をそれぞれ1つ挙げることです。 (1) $a, b$ は自然数で、$a - b$ と $\frac{a}{b}$ がいずれも自然数ではない。 (2) $a, b$ は整数で、$\frac{a}{b}$ が整数ではない。 (3) $a, b$ は異なる無理数で、$ab$ が有理数である。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの条件を満たす $a, b$ の例をそれぞれ1つ挙げることです。

(1) $a, b$ は自然数で、$a - b$ と $\frac{a}{b}$ がいずれも自然数ではない。

(2) $a, b$ は整数で、$\frac{a}{b}$ が整数ではない。

(3) $a, b$ は異なる無理数で、$ab$ が有理数である。

2. 解き方の手順

(1)

$a - b$ が自然数でないためには、$a \le b$ となれば良い。また、$\frac{a}{b}$ が自然数でないためには、$a$ が $b$ で割り切れないか、割り切れても商が1以外であれば良い。

例として、$a = 2$, $b = 3$ を考えます。

$a - b = 2 - 3 = -1$ は自然数ではありません。

$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ は自然数ではありません。

したがって、$a = 2, b = 3$ は条件を満たします。

(2)

$\frac{a}{b}$ が整数でないためには、$a$ が $b$ で割り切れないか、割り切れても商が整数でなければ良い。

例として、$a = 1$, $b = 2$ を考えます。

$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ は整数ではありません。

したがって、$a = 1, b = 2$ は条件を満たします。

(3)

$a, b$ が異なる無理数で、$ab$ が有理数となる例を探します。無理数同士の積が有理数になるには、$a$ と $b$ が互いに打ち消しあうような構造を持つ必要があります。例えば、$a = \sqrt{2}$ と $b = 2\sqrt{2}$ を考えます。

$ab = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 2 \times 2 = 4$ は有理数です。

また、$a = \sqrt{2}$ と $b = 2\sqrt{2}$ は異なる無理数です。

したがって、$a = \sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = 3$

(2) $a = 1, b = 2$

(3) $a = \sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}$