長方形の土地があり、縦に2本、横に1本の同じ幅の道を作る。残りの部分を花壇にしたとき、花壇の面積と道の面積が同じになるときの道の幅を求める問題。長方形の土地の縦の長さは12m、横の長さは18mである。

1. 問題の内容

長方形の土地があり、縦に2本、横に1本の同じ幅の道を作る。残りの部分を花壇にしたとき、花壇の面積と道の面積が同じになるときの道の幅を求める問題。長方形の土地の縦の長さは12m、横の長さは18mである。

2. 解き方の手順

道の幅を $x$ (m) とする。

長方形全体の面積は $12 \times 18 = 216$ (m$^2$)。

花壇の部分の縦の長さは $12 - 2x$ (m)、横の長さは $18 - x$ (m)。

花壇の面積は $(12 - 2x)(18 - x)$ (m$^2$)。

花壇の面積と道の面積が同じなので、花壇の面積は長方形全体の面積の半分である。

したがって、

$(12 - 2x)(18 - x) = \frac{1}{2} \times 216$

$(12 - 2x)(18 - x) = 108$

$216 - 12x - 36x + 2x^2 = 108$

$2x^2 - 48x + 216 = 108$

$2x^2 - 48x + 108 = 0$

$x^2 - 24x + 54 = 0$

解の公式を用いて $x$ を求める。

$x = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(1)(54)}}{2(1)}$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 216}}{2}$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{360}}{2}$

$x = \frac{24 \pm 6\sqrt{10}}{2}$

$x = 12 \pm 3\sqrt{10}$

$x$ は道の幅なので、$0 < x < 6$ （短い方の辺の半分）を満たす必要がある。

$3\sqrt{10} \approx 3 \times 3.16 = 9.48$ なので、$12 - 3\sqrt{10} \approx 12 - 9.48 = 2.52$

$12 + 3\sqrt{10} > 12$ なので不適。

したがって、$x = 12 - 3\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$12 - 3\sqrt{10}$ m