与えられた等式 $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす2次の正方行列 $X$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす2次の正方行列 $X$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列が対角行列であることに注目します。

$X$ も対角行列であると仮定し、 $X = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ と置きます。

このとき、$X^2$ は

$X^2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}$

となります。

これが $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ に等しいので、$a^2 = 1$ かつ $b^2 = 4$ が成り立ちます。

したがって、$a = \pm 1$ かつ $b = \pm 2$ となります。

これにより、 $X$ は次の4つの行列となります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$