一の位と十の位の数が等しい3桁の自然数がある。その数の各位の数の和は17であり、一の位と百の位の数字を入れ替えてできる数は、もとの数より198小さくなる。もとの自然数を求めよ。

1. 問題の内容

一の位と十の位の数が等しい3桁の自然数がある。その数の各位の数の和は17であり、一の位と百の位の数字を入れ替えてできる数は、もとの数より198小さくなる。もとの自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

もとの3桁の自然数を $100a + 10b + b$ と表す。ここで、$a$ は百の位、$b$ は一の位と十の位の数である。

各位の数の和は17なので、

$a + b + b = 17$

$a + 2b = 17$

一の位と百の位を入れ替えた数は $100b + 10b + a$ となる。

入れ替えた数はもとの数より198小さいので、

$100a + 10b + b - (100b + 10b + a) = 198$

$99a - 99b = 198$

$a - b = 2$

2つの式ができた。

$a + 2b = 17$

$a - b = 2$

2つ目の式より、$a = b + 2$

これを1つ目の式に代入する。

$b + 2 + 2b = 17$

$3b = 15$

$b = 5$

したがって、$a = 5 + 2 = 7$

もとの数は $100a + 10b + b = 100 \times 7 + 10 \times 5 + 5 = 700 + 50 + 5 = 755$ となる。

3. 最終的な答え

755