1個120円で50gのお菓子を、1個100円で30gの箱に入れて購入する。代金は1500円以下、重さは500g以上にしたいとき、お菓子は最大何個まで買えるか。

1. 問題の内容

1個120円で50gのお菓子を、1個100円で30gの箱に入れて購入する。代金は1500円以下、重さは500g以上にしたいとき、お菓子は最大何個まで買えるか。

2. 解き方の手順

まず、お菓子の個数を $x$ 、箱の個数を $y$ とします。

条件より、

* 代金は1500円以下: $120x + 100y \le 1500$

* 重さは500g以上: $50x + 30y \ge 500$

* $x$ と $y$ は整数

$120x + 100y \le 1500$ を簡単にすると、$6x + 5y \le 75$

$50x + 30y \ge 500$ を簡単にすると、$5x + 3y \ge 50$

$y$ について解くと、

$y \le \frac{75 - 6x}{5}$

$y \ge \frac{50 - 5x}{3}$

これらを同時に満たす $x$ と $y$ の整数の組み合わせを探します。

$\frac{50 - 5x}{3} \le y \le \frac{75 - 6x}{5}$

$x = 7$ のとき:

$\frac{50 - 35}{3} = \frac{15}{3} = 5 \le y \le \frac{75 - 42}{5} = \frac{33}{5} = 6.6$

$y = 5, 6$

$x = 7, y = 6$ のとき $120(7) + 100(6) = 840 + 600 = 1440 \le 1500$ かつ $50(7) + 30(6) = 350 + 180 = 530 \ge 500$

$x = 7, y = 5$ のとき $120(7) + 100(5) = 840 + 500 = 1340 \le 1500$ かつ $50(7) + 30(5) = 350 + 150 = 500 \ge 500$

$x = 8$ のとき:

$\frac{50 - 40}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \le y \le \frac{75 - 48}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$

$y = 4, 5$

$x = 8, y = 5$ のとき $120(8) + 100(5) = 960 + 500 = 1460 \le 1500$ かつ $50(8) + 30(5) = 400 + 150 = 550 \ge 500$

$x = 8, y = 4$ のとき $120(8) + 100(4) = 960 + 400 = 1360 \le 1500$ かつ $50(8) + 30(4) = 400 + 120 = 520 \ge 500$

$x = 9$ のとき:

$\frac{50 - 45}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \le y \le \frac{75 - 54}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$

$y = 2, 3, 4$

$x = 9, y = 4$ のとき $120(9) + 100(4) = 1080 + 400 = 1480 \le 1500$ かつ $50(9) + 30(4) = 450 + 120 = 570 \ge 500$

$x = 10$ のとき:

$\frac{50 - 50}{3} = 0 \le y \le \frac{75 - 60}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$y = 0, 1, 2, 3$

$x = 10, y = 3$ のとき $120(10) + 100(3) = 1200 + 300 = 1500 \le 1500$ かつ $50(10) + 30(3) = 500 + 90 = 590 \ge 500$

$x = 11$ のとき:

$\frac{50 - 55}{3} = \frac{-5}{3} \approx -1.67 \le y \le \frac{75 - 66}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$

$y = 0, 1$

$x = 11, y = 1$ のとき $120(11) + 100(1) = 1320 + 100 = 1420 \le 1500$ かつ $50(11) + 30(1) = 550 + 30 = 580 \ge 500$

$x = 12$ のとき:

$\frac{50 - 60}{3} = \frac{-10}{3} \approx -3.33 \le y \le \frac{75 - 72}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$

$y = 0$

$x = 12, y = 0$ のとき $120(12) + 100(0) = 1440 \le 1500$ かつ $50(12) + 30(0) = 600 \ge 500$

$x = 13$ のとき

$\frac{50 - 65}{3} < 0 \le y < 0$ となり、$x$ をこれ以上大きくすることはできない。

お菓子の個数を最大にする組み合わせは $x=12, y=0$ のときで、お菓子の個数は12個です。

3. 最終的な答え

12個