双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きいほうから順に $Q$, $R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ ($O$ は原点) の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) 上の点 $P(p, q)$ (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を $y$ 座標が大きいほうから順に $Q$, $R$ とする。このとき、平行四辺形 $ORPQ$ ($O$ は原点) の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の漸近線を求める。双曲線の式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ から、漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$ である。

点 $P(p, q)$ を通り、漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ に平行な直線は、傾きが $\frac{b}{a}$ であり、$y - q = \frac{b}{a}(x - p)$ と表せる。

この直線と漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ との交点が $R$ である。交点の座標を $(x_R, y_R)$ とすると、

$y_R = \frac{b}{a}(x_R - p) + q = -\frac{b}{a}x_R$

$\frac{2b}{a}x_R = -\frac{bp}{a} + q$

$x_R = \frac{aq - bp}{2b}$

$y_R = -\frac{b}{a} \cdot \frac{aq - bp}{2b} = \frac{bp - aq}{2a}$

したがって、$R$ の座標は $(\frac{aq - bp}{2b}, \frac{bp - aq}{2a})$ である。

点 $P(p, q)$ を通り、漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ に平行な直線は、傾きが $-\frac{b}{a}$ であり、$y - q = -\frac{b}{a}(x - p)$ と表せる。

この直線と漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ との交点が $Q$ である。交点の座標を $(x_Q, y_Q)$ とすると、

$y_Q = -\frac{b}{a}(x_Q - p) + q = \frac{b}{a}x_Q$

$-\frac{2b}{a}x_Q = -\frac{bp}{a} - q$

$x_Q = \frac{bp + aq}{2b}$

$y_Q = \frac{b}{a} \cdot \frac{bp + aq}{2b} = \frac{bp + aq}{2a}$

したがって、$Q$ の座標は $(\frac{bp + aq}{2b}, \frac{bp + aq}{2a})$ である。

平行四辺形 $ORPQ$ の面積は、ベクトル $\vec{OR}$ と $\vec{OQ}$ がなす平行四辺形の面積である。

面積 $S = |\frac{aq - bp}{2b} \cdot \frac{bp + aq}{2a} - \frac{bp - aq}{2a} \cdot \frac{bp + aq}{2b}|$

$S = |\frac{(aq - bp)(bp + aq)}{4ab} - \frac{(bp - aq)(bp + aq)}{4ab}|$

$S = |\frac{(a^2q^2 - b^2p^2) - (b^2p^2 - a^2q^2)}{4ab}|$

$S = |\frac{2a^2q^2 - 2b^2p^2}{4ab}|$

$S = |\frac{a^2q^2 - b^2p^2}{2ab}|$

点 $P(p, q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$。

つまり、$\frac{b^2p^2 - a^2q^2}{a^2b^2} = 1$ より $b^2p^2 - a^2q^2 = a^2b^2$ となるので、$a^2q^2 - b^2p^2 = -a^2b^2$。

$S = |\frac{-a^2b^2}{2ab}| = \frac{a^2b^2}{2ab} = \frac{ab}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{2}$